Nie.
Celem tej strony jest przedstawienie kilku wyjaśnień, dlaczego nie warto grać w lotto. Wyjaśnień, które nie kończą się na prostym stwierdzeniu, że wygrana jest „ekstremalnie mało prawdopodobna”. Przecież ktoś wygrywa? Koszt kuponu w porównaniu do wygranej jest tak niski, że nawet jeśli szanse są niewielkie, to nic nie tracę? „Panie, ja gram systemem!”.
Może dla Ciebie jest jasne, że granie w lotto prawie zawsze jest złą decyzją, ale nie dla kogoś z Twojej rodziny. Nie możesz patrzeć, jak wujek marnuje pieniądze, ale na nic zdały się Twoje argumenty. Spróbuj użyć któregoś z tej strony albo ją prześlij. Dodam, że jeśli ktoś chce zapłacić za nadzieję lub emocje (co jest związane z tzw. funkcją użyteczności), nie mnie ją wyceniać.
Czy warto grać w lotto?
Poniżej trzy wyjaśnienia, dlaczego nie warto grać w lotto, każde z innej perspektywy. Po kliknięciu na obrazek, przejdziesz do właściwego wyjaśnienia.
Wyjaśnienie 1
Kombinacja 1, 2, 3, 4, 5, 6 jest tak samo prawdopodobna, jak jakakolwiek inna. A postawiłbyś na taką?
Wyjaśnienie 2
Mimo bardzo wysokiej potencjalnej wygranej, OCZEKIWANA wygrana jest ujemna. Grając w lotto, dosłownie marnujesz pieniądze.
Wyjaśnienie 3
Wyniki losowania są całkowicie losowe, więc nie jest możliwy żaden „system".
Wyjaśnienie 1
Pamiętam, jak na którymś ze zjazdów rodzinnych mój wujek, zapalony gracz lotto, poprosił mnie (matematyka z wykształcenia), bym pomógł mu obstawić jakieś dobre liczby. Odpowiedziałem, że 1, 2, 3, 4, 5, 6 to rozsądny wybór. Typową reakcją na taką poradę jest stwierdzenie, że to przecież niemożliwe, by wylosowały się akurat takie liczby. Stąd już krótka droga (jak mi się wydawało) do tego, by wytłumaczyć, że wylosowanie dowolnego innego zestawu jest również prawie niemożliwe – a w takim razie nie warto grać w lotto. Okazało się inaczej. Spróbuję zatem wyjaśnić, dlaczego wylosowanie zestawu 1-6 jest tak samo prawdopodobne, jak np. 7, 12, 19, 34, 36, 41.Prawdopodobieństwo
Zacznijmy od początku. W lotto wybieramy kombinację 6 liczb z 49 możliwych. Wszystkich takich kombinacji jest około 14 milionów, w związku z tym szansa, że akurat zostanie wylosowany nasz zestaw to jeden do 14 milionów. Jest to porównywalne z ryzykiem, że zginiemy w wypadku, idąc do kolektury (moje bardzo przybliżone oszacowanie na podstawie https://en.wikipedia.org/wiki/Micromort).Tak naprawdę podanie tej wartości powinno zakończyć dyskusję, ale zwykle tak się nie dzieje. Padają argumenty typu: „Ale przecież ktoś jednak wygrywa?”, „Może szansa jest mała, ale jednak jakaś jest”. Nie ma co się dziwić, prawdopodobieństwo wcale nie jest intuicyjne, szczególnie jeśli jest tak małe. Założę jednak, że porównanie do innego ekstremalnie rzadkiego zdarzenia jest wystarczające, gdyż chciałbym zająć się innym problemem: czemu kombinacja 1, 2, 3, 4, 5, 6 jest tak samo prawdopodobna jak inne? Albo inaczej: jak mam to wytłumaczyć mojemu wujkowi?
Pierwsze podejście
Jeśli zastanowimy się chwilę, to skoro podałem wyżej jedno prawdopodobieństwo (jeden do 14 milionów), w takim razie jest ono niezależne od tego, z jaką kombinacją liczb mamy do czynienia. O czym tu gadać? Matematycznie rzeczywiście nie ma o czym, ale dla wielu osób będą to tylko magiczne zaklęcia. Pewnie jeszcze chcemy ich oszukać, a samemu regularnie wysyłamy kupony. Dlatego spróbujmy w możliwie najmniejszym stopniu odwoływać się do liczb.Po pierwsze, założenie, że ciąg liczb po kolei musi być mniej prawdopodobny od ciągu nie po kolei wcale nie jest głupie. Co więcej, jest to prawda — o ile sformułuję to tak, jak wyżej. Kombinacji nie po kolei jest znacznie więcej, dlatego jeśli miałbym zgadywać, czy w Lotto zostaną wylosowane liczby po kolei, powiedziałbym, że nie. Co więcej, w historii polskiego Lotto taka sytuacja jeszcze nigdy się nie zdarzyła. Czyli jednak warto grać w lotto? Problem w tym, że musimy wskazać DOKŁADNĄ kombinację. Nie przyrównujemy ciągu 1-6 do dowolnie innego, ale trzeba go konkretnie wskazać, na przykład 7, 12, 19, 34, 36, 41. Obie te kombinacje są tak samo prawdopodobne.
No dobrze, ale właściwie czemu są tak samo prawdopodobne, jak to wyjaśnić obrazowo? Załóżmy na chwilę, że nie jest to prawda, że w jakiś sposób jeden z zestawów jest mniej prawdopodobny. Jak miałoby to działać? Piłki z liczbami w maszynie losowane są jedna po drugiej. Powiedzmy, że wylosowano już 1, 2, 3, 4, 5 (niekoniecznie w tej kolejności). W jaki sposób szansa wylosowania 6 miałaby być mniejsza od, dla przykładu, 42? Żeby tak było, piłki w maszynie musiałyby wiedzieć, co zostało już wylosowane! Także myśląc w ten sposób, przypisujemy im pewien rodzaj inteligencji (w rzeczywiście może być inny powód, wspomnę o nim pod koniec).
Drugie podejście
Takie wyjaśnienie wciąż mnie nie satysfakcjonowało, było jeszcze za mało obrazowe. Wyobraźmy sobie zatem, że zamiast liczb, na piłkach znajdują się obrazki właśnie: kot, pies, nietoperz, krowa i tym podobne. W takim razie teraz maszyna powinna zupełnie inaczej działać, preferować lub nie inne kombinacje. Może mało prawdopodobny powinien być zestaw ze zwierzętami domowymi albo parzystokopytnymi? Jeśli wylosowano już kota, to jaka jest szansa, że na kolejnej piłce będzie mysz?Wydaje mi się, że ten przykład dobrze pokazuje niedorzeczność twierdzenia, że kombinacja 1-6 jest mniej prawdopodobna od jakiejkolwiek innej (ale konkretnej, ustalonej). To my, ludzie, nadajemy tym liczbom pewien sens, ale piłki o tym nie wiedzą.
Tak naprawdę problem, o którym piszę, można przedstawić na prostszym przykładzie rzutu monetą. Wiele osób wierzy, że jeśli na przykład 10 razy pod rząd wyrzucimy orła, to w końcu musi wypaść reszka. Ale skąd moneta ma wiedzieć, co wcześniej wypadło?
Wyjaśnienie 2
Proponuję Ci grę: rzućmy monetą i jeśli wypadnie orzeł, płacę 1 zł, a jeśli reszka, Ty mi dajesz 5 zł. Zakładam, że nikt rozsądny by w to nie wszedł. Czy możemy jakoś matematycznie uzasadnić naszą niechęć do takiej propozycji? Pomocna jest tu koncepcja wartości oczekiwanej. Z prawdopodobieństwem 1/2 wygram 1 zł, z prawdopodobieństwem 1/2 stracę 5 zł, więc oczekuję, że wygram
Wartość oczekiwana
Ale czemu tak to policzyłem? Co to jest ta wartość oczekiwana? Przecież nie mogę stracić 2 zł: albo stracę 5, albo zyskam 1. Wartość oczekiwana reprezentuje ŚREDNIĄ stratę. O pojedynczej grze niewiele można powiedzieć, bo jej wynik jest oczywiście losowy. Natomiast da się opisać, z pewnym przybliżeniem, wynik wielu gier. Jeśli rzucam raz monetą, nie mam pojęcia, co wypadnie, ale jeśli rzucę 1000 razy, to OCZEKUJĘ, że orzeł wypadnie mniej więcej 500 razy. Podobnie, jeśli powtórzymy naszą grę 1000 razy, to na każdej średnio będziemy tracić 2 zł.Brzmi jak jakieś teoretyczne dywagacje? Ale bardzo łatwo to sprawdzić. Zagrajcie sami ze sobą, np. 30 razy. Zapisujcie wyniki każdej z gier: czy straciliście 5 zł, czy zdobyliście 1. Na końcu policzcie średnią ze wszystkich wyników. Im dłużej będziecie grać, tym ta średnia będzie bliższa -2 zł.
Modyfikacja gry
No dobrze, granie w tę naszą grę jest nieopłacalne, ale jak się to ma do lotto. Tam przecież wygrana jest znacznie większa od przegranej. Tak dla jasności, przegraną w lotto jest oczywiście cena kuponu (jeśli nic nie wygram, to tak, jakbym przegrał np. 3 zł). Zmodyfikujmy w takim razie naszą grę. Tym razem proponuję rzucać dwiema monetami: jeśli wypadną orły, płacę 10 zł, a jeśli nie, Ty mi dajesz 6 zł. Brzmi lepiej? No to zagrajmy, najlepiej też wiele razy. Policzmy, ile średnio stracisz na pojedynczej grze. Prawdopodobieństwo wygranej to 1/4, przegranej 3/4, więc wartość oczekiwana wynosi
Zagrajmy wielokrotnie
Strata 2 zł jest niewielka, przez co mimo tych wyliczeń moglibyśmy „podjąć wyzwanie” i zaryzykować taką grę. Moim celem jest jedynie pokazanie, że jest to nieoptymalna (albo po prostu zła) decyzja. Skoro uważasz, że raz można by zagrać, że jest to w jakiś sposób dobre, to jeśli zagramy 1000 razy, to chyba będzie jeszcze lepsze? Tylko że wtedy stracisz mniej więcej 2000 zł. Na dodatek, prawie na pewno COŚ stracisz. O ile w jednej grze prawdopodobieństwo zysku nie jest małe i taka sytuacja jak najbardziej może mieć miejsce, tak w przypadku wielu gier jest to praktycznie niemożliwe. Może nie stracisz 2000 zł – ale 1900, a jak Ci się poszczęści, to „tylko” 1800. Ale równie dobrze może to być 2100 czy 2200.Jeśli zgodzicie się, że wiele takich gier to na pewno zła decyzja, to twierdzenie, że zagranie raz jest dobrą, jest nie do obrony. Oczywiście są rzeczy, które dopiero przy powtarzaniu są złe. Wypicie kieliszka wina może być dobre dla Twojego zdrowia, ale dziesięciu już niekoniecznie. Natomiast w naszym przypadku powtarzanie nie zmienia istoty gry, jedynie uwypukla jej nieoptymalność.
Grę można tak zaprojektować, by oczekiwana strata wynosiła nie 2 zł, ale np. 1 zł czy 50 groszy. Ale jeśli wciąż jest to strata, nie trzeba szukać innych argumentów, by uzasadnić jej nieopłacalność. Dopiero jeśli wartość oczekiwana jest dodatnia, warto rozważyć, czy wejść w taką grę. Piszę o rozwadze, bo jeśli np. przy wyrzuceniu orła zyskamy 10 mln, a przy wyrzuceniu reszki stracimy 1 mln, to mimo że oczekujemy zysku
Lotto
Ale chwila. Przecież ciągle mówimy o monetach lub kostce, a nie o graniu w lotto. Tyle że istota tej gry jest taka sama: na podstawie wyniku losowego zdarzenia (losowanie piłek z numerami) albo wygramy pewną kwotę, albo przegramy (cena zakładu). Przyjmijmy, że zakład kosztuje 3 zł (stan na 2022 rok), wygrana 2 mln zł. Żeby policzyć wartość oczekiwaną, potrzebuję jeszcze prawdopodobieństwa wylosowania konkretnych 6 liczb. Jak uzasadniałem w poprzednim wyjaśnieniu, nie zależy ono od tego, co skreślę. Ponieważ wszystkich kombinacji jest ok. 14 mln (dokładnie 13983816, liczy się to ze wzoru na tzw. kombinacje bez powtórzeń), w takim razie to prawdopodobieństwo jest jak 1 do 14 milionów. Stąd wartość oczekiwana wynosi
Podsumowując, na każdym kuponie, który kupimy, tracimy średnio 2 zł – podobnie, jak w przypadku mojej gry z rzucaniem monetą. I podobnie jak tam, kupując 1000 kuponów, tracimy średnio 2000 zł.
Kumulacja
Co ciekawe, przy odpowiednio dużej kumulacji (co najmniej 10 mln zł), wartość oczekiwana staje się dodatnia! No proszę, czyli jednak czasem warto grać w lotto? Wciąż nie. Powyżej zakładałem, że wygrywa tylko jedna osoba. Gdy nie ma wysokich kumulacji, zwykle tak jest, ale w przypadku 10 mln lub więcej, liczba grających staje się na tyle duża, że często wygrywają dwie lub więcej osób. Ponieważ muszą podzielić się wygraną, zamiast 10 mln mamy 5 mln lub mniej. Natomiast precyzyjne obliczenie wartości oczekiwanej jest trudniejsze, bo zależy właśnie od liczby sprzedanych kuponów. Tak naprawdę, w przypadku podstawowej wygranej ten problem również występuje, a w takim razie wartość oczekiwana jest jeszcze mniejsza.Wyjaśnienie 3
Jeśli nie uważamy Totalizatora Sportowego, który jest właścicielem loterii lotto, za instytucję charytatywną, gra musi się im opłacać. A ponieważ ich zysk to nasza strata, w takim razie nam nie może się opłacać. Czyli nie warto grać w lotto.System
Ten argument byłby fałszywy, gdybyśmy wpadli na jakiś system – taki, że tylko niewielka część osób byłaby w stanie go wymyślić. Przez system rozumiem skreślanie pewnych konkretnych numerów, których szansa na wylosowanie miałaby być większa od innych. Tylko żeby to miało prawo działać, wyniki losowań nie mogłyby być losowe.I może nie są? Może maszyna nie jest poprawnie skalibrowana? (https://youtu.be/rWfR3-XGQAc). Piłki są ustawione w pewnej kolejności, czy to nie ma wpływu na wynik? Większe liczby to więcej czarnej farby na piłce, więc większa waga – czy to nie ma żadnego znaczenia?
Dane historyczne
Tak się składa, że można to sprawdzić. Na podstawie historycznych wyników losowań (do pobrania np. stąd), jesteśmy w stanie ocenić, czy są losowe. Na poniższym wykresie pokazano, jak często pojawił się każdy z numerów w losowaniach od 1957 roku. Jeśli wynikami rządzi przypadek, powinniśmy otrzymać tzw. rozkład jednostajny, czyli każdy z numerów powinien wystąpić tak samo często.
No i proszę, nie występuje tak samo często… Czyli jednak warto grać w lotto? Idealny rozkład jednostajny jest albo bardzo mało prawdopodobny, albo niemożliwy (jeśli liczba losowań nie jest wielokrotnością 49). To tak, jakby oczekiwać, że rzucając monetą 1000 razy, orzeł wypadnie dokładnie w połowie przypadków (znów, jeśli rzucamy nieparzystą liczbę razy, jest to wręcz niemożliwe). Czy jeśli wypadnie 495 razy, będziemy twierdzić, że moneta jest oszukana? Nie, bo pewne odchyłki są normalne, wręcz oczekiwane. Gdyby rozkład wyników losowań był idealnie jednostajny, to dopiero byłoby podejrzane.
Testy statystyczne
Istnieją precyzyjne metody statystyczne, dzięki którym można nawet udowodnić, że takie obserwowane odchyłki są normalne. Innymi słowy, że rozkład jest jednostajny (a mówiąc precyzyjniej: że nie ma podstaw przypuszczać, że nie jest). Zainteresowanych odsyłam tutaj. Udowodniono tam więcej: że dowolnie wybrany podzbiór wyników jest jednostajny (a nie tylko wszystkie). Czyli nie warto grać w lotto.Wykorzystanie losowości
Ale chwila, może właśnie to, że wyniki są całkowicie losowe, potraktować jako system? Skoro w 10 ostatnich losowaniach jakiś numer został wylosowany rzadziej, to teraz jest większa szansa na jego wylosowanie? Wracamy tu jednak do pierwszego wyjaśnienia: żeby tak to działało, piłki musiałyby wiedzieć, co zostało już wylosowane. I to nie tylko przed chwilą, ale musiałyby pamiętać całą historię wyników losowań.Jeśli ktoś nie wierzy, zawsze można to sprawdzić. Podzieliłem dostępne dane na dwa okresy: przed 24 kwietnia 1994 i po (wychodzi wtedy mniej więcej po połowie wyników). Najrzadziej wylosowane numery w pierwszym okresie to 48, 43, 12, 23, 16, 44. Ten pierwszy (48) wystąpił tylko 1,8% razy, ostatni (44) 1,9%. pozostałe pomiędzy tymi częstościami. Są to rzeczywiście rzadsze wyniki (możemy je porównać do 1/49 = 2,04%). Czy w drugim okresie każdy z nich pojawił się częściej, żeby „nadrobić”? Numer 48 pojawia się 1,88% razy, numer 44 1,96%. Z kolei numer 23 pojawił się w 2,11% losowaniach, numer 16 w 2,07%. Czyli niektóre pojawiły się częściej, niektóre rzadziej – dokładnie tak, jak należało oczekiwać, jeśli numery NIE potrafią zapamiętać, co wcześniej wypadło.
Oczywiście takich strategii można wymyślać nieskończenie wiele. Mając dostęp do danych historycznych, można je przetestować. Oczywiście jeśli zaakceptujemy fakt, że wyniki są losowe, nie będziemy musieli tracić na to czasu.
O mnie
Nazywam się Piotr Szulc, zajmuję się analizą danych i uczeniem maszynowym. Z wykształcenia jestem matematykiem (uzyskałem stopień doktora na Wydziale Matematyki PWr). Prowadzę serwis o danetyce, czyli nauce o danych. Jeśli chcesz dowiedzieć się czegoś więcej, kliknij przycisk poniżej.